Superfícies Curvas Bicúbicas 3D

Agora, se tomarmos um valor fixo t1 qualquer de t, a equação Q(s,t1) é simplesmente uma curva em 3D porque G(t1) é uma constante e Q vai variar apenas ao longo de s.

Se permitirmos que t tome um valor levemente diferente t2, onde o valor de t1-t2 é bastante pequeno , Q(s,t2) será uma curva levemente diferente.

Se repetirmos este processo para um conjunto arbitrário de valores de t entre 0 e 1, estaremos definindo uma completa família de curvas, cada uma delas arbitrariamente próxima da anterior, dependendo de quanto t variou.

O conjunto de todas estas curvas define uma superfície curva. Se as matrizes Gi(t) definirem por sua vez também curvas cúbicas, estaremos descrevendo uma superfície paramétrica bicúbica, que se comporta como uma família de curvas de Hermite, Bézier ou Spline (dependendo de G(t)) tanto no sentido de s como no de t.

Se assumimos que as Gi(t) são cúbicas, cada uma delas representada por sua vez através da equação  (que nós já conhecemos), onde  (Usamos G e g em negrito para diferenciar estes valores representando as matrizes de geometria das funções G(t)).

Aqui, gi1 é o primeiro elemento do vetor de geometria no sentido t da curva (Hermite, Bézier ou Spline) Gi(t) e assim por diante.

Se transpusermos a equação  usando a regra de identidade , teremos como resultado:

Se substituirmos este resultado para todos os quatro pontos (de controle), teremos:

Ou, representando equação acima de forma mais compacta:

Se reescrevermos a equação anterior de forma separada para cada coordenada x,y e z, teremos a forma geral do sistema de equações em forma paramétrica de uma superfície bicúbica:

 (eq. 1)

Onde a Matriz dos Parâmetros (da curva cúbica) é dada por:

e a Matriz de Hermite é dada por:

e, por fim, a Matriz de Geometria dada pelos coeficientes:

Se tomarmos cada uma das equações de eq. 1 e substituirmos t por s, para obter , teremos expresso uma curva de Hermite em termos de s.

Se agora supusermos que  não é constante, mas sim que varia em função de t, podemos reescrever:

 (eq .2)

As funções P1x(t) e P4x(t) definem as componentes em x dos pontos iniciais e finais para a curva no parâmetro s. Similarmente, R1x(t) e R4x(t) são apenas vetores tangentes nestes pontos.

Na figura abaixo pode-se observar uma superfície de Hermite definida por duas “bordas” dadas por P1(t) e P4(t) e um conjunto de cúbicas s que são definidas nos pontos t= 0.0, 0.2, 0.4, 0.6, 0.8 e 1.0. O “retalho” de superfície é basicamente uma interpolação entre Q(s, 0) e Q(s, 1) com passo 0.2 definido em t.

Superfície Bicúbica representada como conjunto de curvas (s variável e t fixo) “armadas” entre duas curvas ao longo de t.

Para podermos definir melhor como funciona uma superfície bicúbica, representemos P1(t), P4(t), R1(t) e R4(t) na forma de Hermite como:

E estas quatro cúbicas podem por sua vez ser reescritas como uma única equação (para x, y e z):

 (eq. 3)

onde:

A transposição de ambos os lados da (eq. 3) resulta em:

Substituindo a equação anterior  na (eq. 2) temos:

Assim, vemos que podemos definir um ponto qualquer sobre uma superfície de Hermite em função de duas matrizes de parâmetros S e T, representando t³, t², t, s³, s² e s.

As três matrizes 4×4  têm o mesmo papel numa superfície de Hermite que tinha a Matriz GH para curvas.

Os significados dos 16 elementos de  podem ser compreendidos se tomarmos por base (eq. 2) e (eq. 2):

a) O elemento g11x é x(0,0) porque é o ponto inicial P1x(t), que por sua vez é o ponto inicial para x(s,0). Da mesma forma, g12x é x(0,1) pois é o ponto final de P1x(t), que por sua vez é o ponto inicial de x(s,1).

b) Além disso, g13x é δx/δt(0,0) porque é o vetor tangente inicial para P1x(t) e g33x é δ²x/δsδt(0,0) porque é o vetor tangente inicial de R1x(t), que por sua vez é a curvatura inicial de x(s,0).

A disposição destes vetores está exemplificada pela figura abaixo.

Superfície de Hermite e seus Vetores

Usando estas interpretações podemos reescrever  da seguinte forma:

Podemos interpretar  da seguinte forma:

• A porção 2×2 superior esquerda contém as coordenadas x dos quatro cantos da superfície.
• As áreas 2×2 superior direita e inferior esquerda contém os vetores tangentes ao longo de cada direção paramétrica (s e t respectivamente).
• A porção 2×2 no canto inferior direito contém as derivadas parciais simultaneamente a s e t. São chamadas de twist (virada) porque quanto maiores, maior será a “orelha de burro” no canto da superfície.

Dados para definir os valores de  ficam por conta do usuário, da mesma forma que ficava em  nas curvas. As considerações de continuidade de superfícies adjacentes são as mesmas das curvas.

Uma matriz de geometria de Bézier consiste de 16 pontos de controle.

Superfícies de Bézier são interessantes para aplicações de engenharia pelas mesmas razões das curvas: São definidas somente por pontos (descrição intuitiva) e passam através de alguns de seus pontos de controle, permitindo um controle exato de seus limites. Na verdade, uma superfície de Bézier passa pelos quatro pontos de controle extremos: P11, P14, P41 e P44.

Continuidade C0 e G0 ao longo das bordas das superfícies é obtida fazendo-se os quatro pontos de controle comuns ao longo da borda serem iguais. A continuidade G1 ocorre quando os dois conjuntos de quatro pontos de controle em cada lado da borda são colineares com os pontos da borda. Isto é exemplificado na onde temos (P13, P14, P15), (P23, P24, P25), (P33, P34, P35) e (P43, P44, P45) como conjuntos de pontos, cada qual sobre uma reta.

Superfície de Bézier

Superfícies B-Spline Bicúbicas

De forma similar às superfícies de Bézier, representamos uma superfície B-Spline bicúbica através de um conjunto de pelo menos 16 pontos de controle. Para cada segmento de uma B-Spline bicúbica, representamos a superfície através do sistema:

Duas superfícies adjacentes com continuidade G1.